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2006年5月25日 (木曜日)

数学の美しさ

母校の教養学部が毎週金曜日夜に「高校生のための特別講座」というのを開講している。文理を問わず、様々なテーマについて、毎回違う顔ぶれの教授陣が高校生に講義をする、と言うもの。娘の通っている学校がすぐ近くで、既定を満たすと学校の単位になるので、出席している子も多い(うちの子は出てないけど^_^;)。この間なんかは講義(エレキギターがテーマ)の後、寺内タケシとブルージーンズのコンサートまでやったらしい。

で、ご父兄の方もどうぞ、ということでスケジュールを見たら、先週の19日の講師に懐かしい名前を発見した。大学一年の時の数学・解析を担当していた大島教授。当時は赴任したての20代の助教授だった。実はあまり講義を理解できていなかった私(笑)。

今回のテーマは「有理数に近い無理数、有理数から遠い無理数」というテーマ。ま、要するに円周率πは22/7とか355/113といったよい近似値があるが、ルート2はそういう近似値が存在しない、という話から始まって、x^2 - 61y^2 = 1を満たす最小の整数の組(x,y)を求めよ、というベル方程式の連分数を使った解法にまで及んだ。

質疑の時間になった。どうしたら数学が出来るようになるのですか、という素朴な質問もあってなかなか微笑ましい。1人の男子高校生が「数学者は数学が美しい、とよく言いますが、どこが美しいのですか」と尋ねた。大島教授の答えは何やら哲学的で、よく覚えていない(^_^;)。でもね、π/4を連分数で表した時、分子側の数列は奇数、分母側の数列は平方数、という並びが講義の時に示されていたが、これ見て単純に美しいと感じないかね、と思ったよ。

終わってから、教授に一言挨拶しようと近づいたら、高校生達が集まっていろいろと質問をしていた。最後に1人の女の子が、1と0.999999999…が同じであることについて、なかなか納得できないと食い下がって質問していた。こういう子の好奇心と能力を伸ばしてあげる高等教育は国内で可能なんだろうか、とふと思った。

1人、場違いな論争ヲタクがいて、世の中は全て粒子で出来ているから、小数は存在しないはずだ、だから今の数学とは間違いなのだ、と主張して量子力学批判まで展開していたが、大島教授には軽くあしらわれていた。素粒子が止まって見える世界なら整数しか存在しないという数学が成立しうるかもしれないが、おまいはそんな世界の住人ではないだろうと小一時間(ry

断片的な知識をひけらかしに来ただけの美しくない兄ちゃんだった。

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コメント

>π/4を連分数で表した時、分子側の数列は奇数、分母側の数列は平方数、という並びが講義の時に示されていたが、これ見て単純に美しいと感じないかね、と思ったよ。

まったく美しいとは思いませんねぇ。数学大好き人間のお遊びでしょ、という感じですかね、私にとってみては。

むしろ、熱力学第二法則を大学の教養課程の物理の授業で実際に解いたことで、熱的終焉を記述する式を美しいと思いました。現場の人間の性ゆえでしょうか?どのタイプの数式を美しいと感じるのは人それぞれなんでしょうね。

>こういう子の好奇心と能力を伸ばしてあげる高等教育は国内で可能なんだろうか、とふと思った。

激しく同意です。

投稿: outlaw | 2006年5月25日 (木曜日) 12時56分

>>outlawさん

「まったく美しいとは思いませんねぇ。数学大好き人間のお遊びでしょ、という感じですかね、私にとってみては。」

わざわざ1/4にしているところは確かにお遊びかもしれませんね(^_^;)。私自身は遊び心の中に美的なものを求める心があるとも思っています。

もちろん、π/4がこの世で一番美しい式だ、などというつもりは全くありません。

高校生の感覚はよくわかりませんが、その質問した子も恐らく美しさを感じなかったのでしょうね。今回の講義ではそんなに多くの種類の数式が示されていたわけではなかった、というのもありますが。

熱力学の第二法則に限らず、物理学の諸法則が簡便なあるいは調和的な臭いのする方程式で記述されているのは、自然の持つ美しさが数式に体現されているのだろうと思いますね。

いずれにしても、人によって感じ方が違うのはそのとおりでしょう。むしろ、美的感覚を画一的に強制しないことの方が大切なのでしょうね。そこで高等教育の重要性ですよ、と締めくくっておきます(笑)。

投稿: フロレスタン | 2006年5月25日 (木曜日) 14時13分

ひねくれた数学屋の哲学的な思想から言うと、自然数ってのは実はちっとも自然じゃないのではないかというのがあります。

というのは、例えば、シャボン玉でもいいですが、安定した形としての円ないしは球ってのは自然に存在する。で、自然が自然法則のままにその形に淘汰するんだから、実はπみたいな数字の方が自然なのではないかって話。

投稿: JosephYoiko | 2006年5月26日 (金曜日) 00時55分

>>Yoikoさん

それは禿げしく同意ですね。
πのように少数で表すと、循環もしないでランダムに数字が続くという方が自然なのでしょうね。

その文脈から言うと、0ってのは不思議な数ではありませんか。これを発見したインド人?って....

投稿: フロレスタン | 2006年5月26日 (金曜日) 00時59分

連分数で漂着致しました。

http://f.hatena.ne.jp/mathnb/20100528021239

この 廣大の函数fが    ◆  いい加減法 (と命名します);

   x^2=7

3倍し;3x^2=3*7

  8*xを(いい加減)加え

3x^2+8*x=3*7+8*x

x*(3*x+8)=8*x+21

から 生まれた。なんて 信じる 学習者は 世界に 存在しない。

授業で いい加減法で 導出される方 は 存在しそう(嗚呼)......◆

★★ 廣大の函数f の導出過程を ご教示ください★★

(f の 導出にこそ 意味が在ると 考えます ので) 

---------------------------------------------------------------------

           また 
http://f.hatena.ne.jp/mathnb/20100528021239
    に倣い 例えば
Sqrt[3], Sqrt[109], Sqrt[263], Sqrt[431], Sqrt[601],
Sqrt[773], Sqrt[971], Sqrt[1153]
     等のそれぞれについて
廣大の函数f に相当する函数の導出を、 遊び心で、お願い致します;

f(Sqrt[3])=Sqrt[3](不動点) f[x]=
f(Sqrt[109])=Sqrt[109](不動点) f[x]=



投稿: gb | 2010年6月 4日 (金曜日) 10時44分

>>gbさん

随分と前のエントリーにコメントをいただきまして。自分でも忘れていた(笑)。

ええ、貴殿の属性が分からず、コメントがどこまでくそ真面目なのか、それこそ「遊び心」からなのか判読不能でして、真意を図りかねています。

その前提でお答えするなら、きちんとした回答をご希望でしたら、私は数学者でもありませんし、受験や数学そのものからも長いこと遠ざかっていますので、どこかより適切なサイトをお探しになって質問されることをお勧めします。

ただし「思いつきによる回答」は次のコメントに掲載します。

投稿: フロレスタン | 2010年6月 5日 (土曜日) 01時33分

f(x)の導出方法

1と素数列2,3,5,7,9,11,13,17,23,29,…に着目。

分母のxの係数に3を選び、次の5を足した8を定数項にする。
3x + 8
分子のxの係数は分母の定数項と同じ8。これに分母の係数3から1つ飛ばした7をかけた21を分子の定数項とする。
8x + 21
f(x) = (8x + 21) /(3x + 8)
最後に掛けた7の平方根を変数とすると、変数と関数値は等しい。

以下同様に、5,7,9
分母のxの係数に5を選び、次の7を足した12を定数項にする。
5x + 12
分子のxの係数は分母の定数項と同じ12。これに分母の係数5から1つ飛ばした9をかけた45を分子の定数項とする。
12x + 45
f(x) = (12x + 45) /(5x + 12)
最後に掛けた9の平方根(この場合は3)を変数とすると、変数と関数値は等しい。
f(3) = 81/27 =3

次は7,9,11
f(x) = (16x + 77)/(7x + 16)
f(√11) = 283*√11/283 = √11

以下同様。

√3は
f(x) = (3x + 3)/(x + 3)
でf(√3) = √3
が成立。

√109だと101,103,109で
f(x) = (204x + 11009)/(101x + 204)

f(√109) = √109
が成立。

投稿: フロレスタン | 2010年6月 5日 (土曜日) 01時58分

残りはめんどくさいので省略します(^_^;)

投稿: フロレスタン | 2010年6月 5日 (土曜日) 02時00分

マジがつく遊び心で 導出を お願い致します
http://www.s.u-tokyo.ac.jp/people/index.php/%E5%A4%A7%E5%B3%B6%E5%88%A9%E9%9B%84
    先生の講義を聞かれたのでしたら
http://f.hatena.ne.jp/mathnb/20100605145027
   に絡むと瞬時に判断なさり 導出 される筈です。
          再考をお願い致します。

投稿: gb | 2010年6月 5日 (土曜日) 15時04分

>>gbさん

あのね、大島氏の講義で06年に聞いたのは高校生向けの1回完結の紹介話であって、連分数の詳細にまで踏み込んだものではない。それから私の学生時代は大学一年の前期の教養の講義の時のみ。

あなたの要求を満足させるセンスは私にはないと思うので、他をあたって下さい。

投稿: フロレスタン | 2010年6月 5日 (土曜日) 23時11分

マルチポストしてるんだね。

投稿: フロレスタン | 2010年6月 6日 (日曜日) 01時14分

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